Угол между плоскостями, геометрический способ - 11 Июня 2012 - Савченко Е.М.





Меню сайта



Категории
Подготовка к ЕГЭ, часть С [17]
Моим ученикам [21]

Календарь
«  Июнь 2012  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930

Форма входа


Опросы
Кто посещает наш сайт?
Всего ответов: 4721

Статистика
Рейтинг@Mail.ru
Geo Visitors Map
Онлайн всего: 10
Гостей: 10
Пользователей: 0

Сегодня нас посетили
girly070584

Комментарии: 2052
Форум: 26/285
Гостевая книга: 93

Поиск

Кнопка сайта



Приветствую Вас, Гость · RSS 09.12.2016, 20:25

Главная » 2012 » Июнь » 11 » Угол между плоскостями, геометрический способ
12:20
Угол между плоскостями, геометрический способ
Проверяемые требования. Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы. Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами.

Существует два способа решения задач по стереометрии.
   

Первый способ классический и требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Примеры задач.

  1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
    Решение  [скачать, 205Kb].
  2. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Найдите угол между плоскостями AB1D1 и ACD1.
    Решение  [скачать, 150Kb].
  3. Часто при построении чертежа я испытываю дискомфорт, не просматриваются треугольники. На черновике я начинаю "кувыркать" многогранник и подбирать наиболее удачный ракурс. При решении этой задачи так и было...
    В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите синус угла между плоскостями BА1С1 и BАD1.
    Решение  [скачать, 165Kb].
  4. В правильной четырехугольной призме  ABCDA1B1C1D1  со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA1 взята точка М так, что AM=8 . На ребре BB1 взята точка K так, что KB1=8. Найдите угол между плоскостью D1MK и плоскостью CC1D1.
    Решение  [скачать, 350Kb].
  5. В правильной четырехугольной призме  ABCDA1B1C1D1  со стороной основания 4 и высотой 7 на ребре AA1 взята точка М так, что AM=2. На ребре BB1 взята точка K так, что KB1= 2. Найдите угол между плоскостью D1MK и плоскостью CC1D1.
  6. В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.
    Решение  [скачать, 304Kb], метод координат [скачать, 180Kb].
  7. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб со стороной 2 и углом В, равным 1200. Найдите угол, который образует плоскость АВD1 с основанием призмы, если известно, что расстояние между прямыми АС и B1D1 равно 4.
    Решение  [скачать, 145Kb].
  8. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 2, а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью А1ВС и плоскостью основания призмы.
    Чертеж  [скачать, 18,2Kb], решение <рис>.
  9. В правильной треугольной призме АВСA1B1C1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 1. Точка D – середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями АВС и АDВ1.
    Решение  [скачать, 180Kb].
  10. В правильной треугольной призме ABCА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями AСВ1 и А1С1B.
    Решение  [скачать, 267Kb].
  11. Основание прямой призмы ABCA1B1C1 – треугольник АВС, площадь которого равна 12, АВ = 5. Боковое ребро призмы равно 36. Найдите тангенс угла между плоскостями АВC1 и ABС.
    Решение  [скачать, 162Kb].
  12. Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором СВ=СА=5, ВА=6. Высота призмы равна 24. Точка М – середина ребра АА1, точка К – середина ребра ВВ1. Найдите угол между плоскостями МКС1 и плоскостью основания призмы.
    Решение  [скачать, 151Kb].
  13. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого АВ=6, ВС=6, СС1=4 найдите тангенс угла между плоскостями АСD1 и А1В1С1.
    Решение  [скачать, 239Kb].
  14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D, у которого AB = 6, BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACD1 и A1B1C1.
  15. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого АВ=6, ВС=6, СС1=4 найдите тангенс угла между плоскостями СDD1 и BDА1.
    Решение  [скачать, 105Kb].
  16. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка N – середина ребра CD, AB = 3, BC = 2, BB1 = 2. Найдите угол между плоскостями AB1N и ABC.
    Решение  [скачать, 256Kb].
  17. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка M – середина ребра B1C1, AB = 3, BC = 4, BB1 = 2. Найдите угол между плоскостями BMD и ABC.
    Решение  [скачать, 188Kb].
  18. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, длины ребер которого АВ = 2, AD = AA1 = 1. Найдите угол между плоскостями CD1B1 и CDA1.
    Решение  [скачать, 174Kb], метод координат [скачать, 210Kb].
  19. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ=АА1=4, AD=3. Найдите тангенс угла, который образует плоскость АСВ1 с гранью СDD1C1.
    Решение  [скачать, 168Kb].
  20. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра АВ=8, АD=6, СС1=5. Найдите угол между плоскостями ВDD1 и АD1B1.
    Решение  [скачать, 185Kb].
  21. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра AB = 5 , АD = 12 , CC1 = 15. Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
    Решение  [скачать, 190Kb].
  22. В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, через вершины A, E и D1 проведена плоскость. Найдите двугранный угол (в градусах) между этой плоскостью и плоскостью основания призмы.
    Решение  [скачать, 107Kb].
  23. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD  с вершиной S все ребра равны между собой. Точка М — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостью ADM  и плоскостью основания.
    Решение  [скачать, 208Kb], другой чертеж <рис.>
  24. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S боковые ребра вдвое длиннее сторон основания. Точка М - середина ребра SC. Найдите угол между плоскостью ADM и плоскостью основания.
    Решение <рис.>
  25. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 5. Найдите угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM : MS = 2 : 1.
    Решение  [скачать, 167Kb]
  26. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 10. Найдите угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM : MS = 2 : 1.
  27. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной . Длины всех боковых ребер равны 3, точка М – середина ребра AS. Через прямую ВМ параллельно диагонали АС проведена плоскость. Определите величину острого угла (в градусах) между этой плоскостью и плоскостью SAC.
    Решение  [скачать, 158Kb].
  28. Основанием правильной пирамиды РАВС является треугольник со стороной, равной 8. Точка К лежит на ребре РС. Плоскость АВК перпендикулярна ребру РС, площадь треугольника АВК равна 24. Найдите угол между плоскостями АВК и АВС.
    Решение  [скачать, 145Kb].
  29. В пирамиде MАВС все ребра равны 8. Через сторону АВ основания АВС пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная ребру МС и пересекающая его в точке К. Найдите угол между плоскостями АВК и АВС, если площадь треугольника АВК равна 16.
    Ответ: .
  30. В правильной четырехугольной пирамиде HABCT с вершиной H все ребра равны. Найдите угол между плоскостями АКВ и СМТ, где К – середина ребра HT, а М – середина ребра HB.
    Решение [скачать, 371Kb].
  31. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями SAD и SBD.
    Решение  [скачать, 194Kb].
  32. Грани АВС и ADC тетраэдра ABCD перпендикулярны и являются равнобедренными треугольниками с общим основанием АС. Точки E и F – середины ребер AD и CD соответственно. Найдите угол между плоскостями АВС и FBE, если известно, что площадь треугольника АВС в 3 раза меньше площади треугольника FBE.
    Решение [скачать, 129 Kb]
  33. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
    Решение [скачать, 205Kb]
  34. Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Слайды из 1 задачи

Две пересекающиеся плоскости образуют две пары равных между собой двугранных углов.
рис

Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.
рис

Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.

Построить линейный угол двугранного угла.
1). Найти ребро двугранного угла – это линия пересечения плоскостей (граней двугранного угла).
2). Выбрать на этой прямой точку и провести к ней два перпендикуляра, лежащих в этих плоскостях. Или провести плоскость, перпендикулярную линии пересечения плоскостей.
рис

Замечательный способ. Замена одной из плоскостей на параллельную плоскость.

Задача 5.

рис


Для увеличения рисунков кликните по изображению. Нажмите и удерживайте для перемещения.
Вы можете открыть сразу два изображения.
PS

В некоторых задачах построение линейного угла не столь очевидно. Потребуется знание других методов решения. Предлагаю познакомиться с координатно-векторным методом. Преимущество этого способа состоит в том, что для вычисления угла между пересекающимися плоскостями не обязательно строить линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями, а достаточно знать для каждой плоскости координаты трех точек лежащих в ней, чтобы задать нормальные вектора к плоскостям  >>>>>
.
Категория: Подготовка к ЕГЭ, часть С | Просмотров: 30096 | Добавил: admin | Рейтинг: 4.4/9
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
© Савченко Е.М. 2009-2016