Угол между плоскостями, метод координат - 16 Июня 2012 - Савченко Е.М.





Меню сайта



Категории
Подготовка к ЕГЭ, часть С [17]
Моим ученикам [21]

Календарь
«  Июнь 2012  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930

Форма входа


Опросы
На что вы готовы пойти, чтобы получить высокие баллы за ЕГЭ?
Всего ответов: 2251

Статистика
Рейтинг@Mail.ru
Geo Visitors Map
Онлайн всего: 7
Гостей: 7
Пользователей: 0

Сегодня нас посетили


Комментарии: 2052
Форум: 26/285
Гостевая книга: 95

Поиск

Кнопка сайта



Приветствую Вас, Гость · RSS 10.12.2016, 17:36

Главная » 2012 » Июнь » 16 » Угол между плоскостями, метод координат
18:49
Угол между плоскостями, метод координат
Существует классический способ решения задач по стереометрии. Он требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической.
Этим способом мы уже решали задачи на странице "Угол между плоскостями, геометрический способ" >>>
Но иногда построить линейный угол двугранного угла между плоскостями очень сложно!
А порой не ясно, как вообще заданные плоскости построить...
   

Попробуем разобраться, как применить метод координат.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними  то и с векторами в пространстве разберетесь.

Повторить можно здесь  http://www.ege-study.ru/ege-materials/math/vectors.pdf Но не забывайте "ловить" ошибки, в этом pdf-документе есть ошибки.

Определение. Нормальным вектором плоскости (или нормалью плоскости) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости.
рис

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла: два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы к каждой плоскости. Отложим их от точки О.
рис 

Вычислять угол между векторами мы умеем по формуле



Но! Мы при решении задач можем выбрать нормали так, что угол между векторами будет тупой. А угол между плоскостями не может быть тупой.
рис 
рис 

Итак, если угол между нормалями острый, то мы сразу получаем угол между плоскостями (формула со знаком «+»).
Если угол между нормалями тупой, то чтобы получить косинус острого угла, надо взять полученное числовое значение для косинуса со знаком «–».



А лучше и проще применить знак модуля.



Данная формула даст правильный ответ (острый угол между прямыми), даже если вы при решении задачи выберите нормальные векторы так, что угол между ними будет тупой.
рис 

[Для увеличения рисунков кликните по изображению. Нажмите и удерживайте для перемещения.
Вы можете открыть сразу два изображения]

PS. Динамические слайды, которые здесь представлены, в презентации к первой задаче "Решение".
Есть задачи, которые наглядно показывают, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, для первой задачи построить необходимые сечения и провести все доказательства, как это делается в "классике" :-)

Примеры задач.

1. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = . Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно .
Решение [скачать, 419 Kb]

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 3, ВС = 4, АА1 = 12. Через середину ребра АВ перпендикулярно диагонали ВD1 проведена плоскость. Найдите угол образованный этой плоскостью с основанием параллелепипеда.
Решение [скачать, 149 Kb].

3. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD = . Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через середину ребра A1D1 перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.
Решение [скачать, 194 Kb]

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра: AB = 5, AD = 12, СС1 = 5. Найдите угол между плоскостями CD1B1и AD1B1.
Решение [скачать, 217 Kb]

5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра: AB = 8, AD = 6, СС1 = 6. Найдите угол между плоскостями CD1B1и AD1B1.

6. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, длины ребер которого АВ = 2, AD = AA1 = 1. Найдите угол между плоскостями CD1B1 и CDA1.
Решение  метод координат [скачать, 210Kb], геометрический способ [скачать, 174Kb].

7. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагональ основания в 2 раза больше бокового ребра. Найдите угол между плоскостью АCB1и боковой гранью ВВ1С1С.
Решение [скачать, 187 Kb]

8. В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.
Решение  метод координат [скачать, 180Kb], геометрический метод [скачать, 304Kb].



Категория: Подготовка к ЕГЭ, часть С | Просмотров: 18002 | Добавил: admin | Рейтинг: 4.6/9
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
© Савченко Е.М. 2009-2016