Угол между скрещивающимися прямыми, метод координат - 15 Июля 2012 - Савченко Е.М.





Меню сайта



Категории
Подготовка к ЕГЭ, часть С [17]
Моим ученикам [21]

Календарь
«  Июль 2012  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031

Форма входа


Опросы
В какой социальной сети у вас есть аккаунт (учтная запись)?
Всего ответов: 2225

Статистика
Рейтинг@Mail.ru
Geo Visitors Map
Онлайн всего: 6
Гостей: 6
Пользователей: 0

Сегодня нас посетили


Комментарии: 2052
Форум: 26/285
Гостевая книга: 92

Поиск

Кнопка сайта



Приветствую Вас, Гость · RSS 03.12.2016, 09:47

Главная » 2012 » Июль » 15 » Угол между скрещивающимися прямыми, метод координат
19:30
Угол между скрещивающимися прямыми, метод координат
Проверяемые требования. Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы. Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами.

Существует два способа решения задач по стереометрии.
   

Первый классический требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Страница на сайте "Угол между скрещивающимися прямыми, геометрический метод" >>>

Другой метод применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить C2 хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми. Повторить http://www.ege-study.ru/ege-materials/math/vectors.pdf Но не забывайте "ловить" ошибки, в этом pdf-документе есть ошибки.

Метод координат удобен для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые –– скрещиваются.

Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Угол между прямыми в стереометрии мы называем угол, который не превосходит любой из трех остальных углов.

Вы можете воспользоваться формулой для вычисления косинуса угла между векторами. Формула (1):



Но следует понимать, что вы найдете угол между векторами. А если косинус получится отрицательный, значит, угол между векторами тупой. И следует найти смежный угол. Т.е. надо будет сделать дополнительное действие. А вдруг вы забудете об этом...

В формуле (2) введен знак модуля для скалярного произведения. Значит, вы автоматически получите искомый угол при любом выборе векторов.



Примеры задач.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Решение: 2 слайда  [скачать, 193 Kb]

2. Точка К – середина ребра АА1 куба АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми А1В и СК.
Решение: 1 способ, метод координат [скачать, 146 Kb], 2 способ, геометрический [скачать, 187 Kb].

3. Точка M – середина ребра АD куба АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми C1M и B1С.
Решение: 1 способ, метод координат [скачать, 108 Kb], 2 способ, геометрический [скачать, 116 Kb]

4. Точка Е – середина ребра DD1 куба ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми СЕ и АС1.
Решение:  метод координат [скачать, 135 Kb], классический метод [скачать, 161 Kb].

5. В кубе АВСDА1В1С1D1 точка Т лежит на стороне СС1 и делит ее пополам. Найти угол между прямыми ВT и В1D.

6. На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка Е так, что СЕ : ЕС1 = 1 : 2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС1.
Решение: 1 способ, метод координат [скачать, 139 Kb], 2 способ, геометрический [скачать, 155 Kb]

7. В прямоугольном параллелепипеде ABCD1B1C1D1  AB=2, AD=4, AA1=3 и точка Е - середина ребра АВ. Найдите угол между прямыми А1С1 и В1Е. Решение <рис.>

8. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D  середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1.
Решение: 3 слайда  [скачать, 240 Kb]

9. В правильной четырехугольной призме АВСТA1B1C1Т1основание относится к высоте как 1:2. Найдите угол между прямыми АМ и KС, где М и К – точки пересечения диагоналей граней ВСС1В1 и АТТ1А1 соответственно.
Решение: 2 слайда  [скачать, 172 Kb]

10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Решение: 3 слайда  [скачать, 320 Kb]

11. В правильной четырехугольной пирамиде АВСMT со стороной основания а=4 и высотой ТО1 = h =1. Найдите косинус угла между прямыми ОТ и MK, где О и К - середины ребер АВ и ТС. 
Решение: 2 слайда [скачать, 223 Kb]

12. В правильной шестиугольной призме А…F1 все ребра которой равны 1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВЕ1.
Два способа решения  [скачать, 243Kb].

13. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми РН и ВМ, если отрезок РН - высота пирамиды, точка М - середина ее бокового ребра АР.
Решение: 1 способ, геометрический , мой чертеж [скачать, 116 Kb]
2 способ, метод координат [скачать, 182Kb].

14. В правильной четырехугольной пирамиде ABCTM с вершиной М боковое ребро АМ вдвое больше стороны основания АВ. Найдите угол между прямыми AМ и BK, где К – точка пересечения медиан грани СТМ.
Решение  [скачать, 275Kb].

15. Диаметр АС основания конуса равен образующей РА этого конуса. Хорда основания ВС составляет угол 600. Найдите косинус угла между прямыми АР и ВС.
Решение классический способ [скачать, 176 Kb] и метод координат [скачать, 248Kb].
Если в задаче C2 вам достался куб или четырехугольная прямая призма (прямоугольный параллелепипед) значит, повезло. Эти многогранники отлично вписываются в прямоугольную систему координат.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1. Пусть точка A начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а осьY перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Категория: Подготовка к ЕГЭ, часть С | Просмотров: 28239 | Добавил: admin | Рейтинг: 4.4/23
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
© Савченко Е.М. 2009-2016