Системы счисления - Математический кружок <!--if(Математическая шкатулка)-->- Математическая шкатулка<!--endif--> - Каталог статей - Савченко Е.М.





Каталог статей
Меню сайта



Категории
Математический кружок [24]
Для любознательных учеников
Замечательные математики [5]

Форма входа


Опросы
На что вы готовы пойти, чтобы получить высокие баллы за ЕГЭ?
Всего ответов: 2251

Статистика
Рейтинг@Mail.ru
Geo Visitors Map
Онлайн всего: 11
Гостей: 11
Пользователей: 0

Сегодня нас посетили


Комментарии: 2052
Форум: 26/285
Гостевая книга: 92

Поиск

Кнопка сайта



Приветствую Вас, Гость · RSS 11.12.2016, 11:03

Главная » Статьи » Математическая шкатулка » Математический кружок

Системы счисления

УГОЛОК   ДЛЯ   ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ

«Преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев,  а восемь,  то человечество пользовалось бы восьмеричной системой». Н.Н. Лузин

Непозиционные системы счисления: "вес" цифры не зависит  от ее положения.

Позиционные системы счисления: значение каждой цифры зависит не только от написания,  но и от ее места в записи числа.

Рис

 


В Древнем Египте числа первого десятка записывали соответствующим количеством палочек. А "десять" обозначалось скобочкой в виде подковы. Чтобы написать 15, надо было ставить 5 палочек и 1 подкову. И так до сотни. Для сотни придуман был крючок, для тысячи - значок вроде цветка. Десять тысяч обозначали рисунком пальца, сто тысяч - лягушкой, а миллион - знакомой нам фигуркой с поднятыми руками.

Не очень-то удобно было записывать таким способом большие числа и совсем неудобно было их складывать, вычитать, умножать, делить. Очень большая возня была с этими значками-иероглифами!

Рис



Обозначения чисел, принятые в XI—XVI вв. индейцами племени ацтеков (Мексика): единицу они обозначали точкой, двойку — двумя точками (см. рисунок) и т. д. до пяти. В запись числа "шесть" входила вертикальная черта, отделявшая пять первых точек от шестой. Ясно, что здесь счет велся группами по пять предметов. Черта отделяла одну такую группу от другой, причем сама черта никакого числа не обозначала. Основной операцией для образования составных чисел было сложение, но наряду с этим применялось и вычитание, а иногда даже умножение. Например, в русском языке, как мы уже говорили, для образования числительных употребляются и сложение и умножение (двадцать семь—два * десять + семь). В угро-финских языках применяется и вычитание: число 8 там произносится как "два-десять" (т. е. десять без двух), 80—как "два-сто", 800—"два-десять-сто" ("десять-сто", т. е. тысяча, — принцип умножения). Так происходило освоение натурального ряда чисел.

Рис



Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления. Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Вот посмотрите римскую нумерацию: I - один, II - два, III - три. На руке человека пять пальцев. Чтобы не писать пять палочек, стали изображать руку. Однако рисунок руки делали очень простым. Вместо того чтобы рисовать всю руку, ее изображали знаком V, и этот значок стал обозначать цифру 5. Потом к пяти прибавляли один и получали шесть. Вот так: шесть - VI, семь - VII. А сколько записано здесь: VIII? Правильно, восемь. Ну а как короче записать четыре? Четыре палочки долго пересчитывать, поэтому от пяти отнимали один и записывали так: IV - это пять без одного.

Вы знаете, что десять состоит из двух пятерок, поэтому в римской нумерации цифру "десять" изображали двумя пятерками: одна пятерка стоит как обычно, а другая перевернута вниз - X. Иначе десять можно записать двумя пересекающимися палочками. Если рядом с X написать одну палочку справа - XI, то будет одиннадцать, а если слева - IX - девять.

Запомните особенность римской записи: меньшая цифра, стоящая справа от большей, прибавляется к ней, стоящая слева - отнимается. Поэтому знак VI означает 5+1, то есть 6, а знак IV -5-1, то есть 4. Научиться читать числа, записанные в римской нумерации, нетрудно, и мы советуем это сделать обязательно. Позднее появились значки и для обозначения других чисел. Так 100 стали обозначать буквой С (первая буква соответствующего латинского слова - centum), число 1000 - буквой М (mille - тысяча), число 500 - буквой D, буквой L - число 50.Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.
Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Число Римское обозначение
0 отсутствует
4 IV (иногда IIII)
8 VIII (иногда IIX)
9 IX
31 XXXI
46 XLVI
99 XCIX
666 DCLXVI
1668 MDCLXVIII
1989 MCMLXXXIX
2009 MMIX
3999 MMMCMX

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.

Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:

  • 999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
  • 95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
  • 1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML
Источник ВикипедиЯ
Конвертор десятичных чисел в римские.

Рис

Рис



Когда возникла письменность, многие народы начали для обозначения чисел использовать алфавит.
Посмотрите, как обозначали числа древние греки и славяне. 

Видите, обе нумерации очень похожи друг на друга. Это не случайно, ведь легендарные создатели славянской письменности Кирилл и Мефодий, когда придумывали способы записи славянских текстов, использовали прописные (большие) буквы греческого алфавита. Естественно, что и числовые значения этих букв сохранились.

Для того, чтобы отличать числа от слов, над буквами, изображающими числа, ставили специальный значок: греки - просто черточку, а славяне - волну, которая называлась "титло".
В славянской нумерации титло ставили только над одной буквой числа, а порядок цифр в записи числа был такой же, как в его названии. Например, в названии числа 15 (у славян - "пятьнадесять") сначала идет число единиц, а потом - десятков. Значение цифры не зависело от того места, которое она занимала в записи числа. Когда хотели записать числа, большие, чем 1000, перед цифрой ставили символ - наклонную перечеркнутую черту, при этом значение цифры умножалось на 1000. Два таких символа, записанных подряд, умножали значение цифры на миллион (греки в таких случаях ставили штрихи перед цифрами, обозначающими число единиц).

Для очень больших чисел использовались специальные названия. Например, поначалу число 10000 называли словом "тьма". Это же слово обозначало бесконечность {то, что нельзя пересчитать). По-гречески же число 10000 называлось "мириа", а словом "мириада", обозначали огромные, не поддающиеся счету количества. В таком значении это слово до сих пор используется в русском языке, например, когда хотят сказать, как много листьев в лесу, говорят "мириады листьев".

Позже число 10000 стали называть так же, как и мы сейчас - "десять тысяч", а словом "тьма" стали называть уже тысячу тысяч, то есть миллион. Число "тьма тем", то есть миллион миллионов, называлось "легион", число "легион легионов" называли "леодр", а "леодр леодров" называли "вороном".

В одной рукописи еще упоминалось число, которое называли "колода". Это число равно десяти воронам, и автор говорит, что "сего числа несть больше". Но вы-то уже знаете, что к любому, сколь угодно большому числу, можно прибавить единицу и получить еще большее число. Не надо думать, что наши предки были глупее нас с вами, просто этот пример показывает, как медленно и трудно люди накапливали те знания, которые мы получили от предыдущих поколений.

Рис



Система счёта у майя базировалась не на привычной десятичной системе, а на распространённой в месоамериканских культурах двадцатеричной. Истоки лежат в методе счёта, при котором применялись не только десять пальцев рук, но и десять пальцев ног. При этом существовала структура в виде четырёх блоков по пять цифр, что соответствовало пяти пальцам руки и ноги. Также интересным является тот факт, что у майя существовало обозначение нуля, который схематически был представлен в виде пустой раковины от устрицы или улитки. Обозначение нуля также применялось для обозначения бесконечности. Так как ноль необходим во многих математических операциях, но в то же время в античной Европе был неизвестен, учёные предполагают сегодня, что майя имели высокоразвитую культуру с хорошим уровнем образования.

Источник ВикипедиЯ

Рис

Рисунки Савченко Е.М.



Гораздо лучше придумали запись чисел в древнем Вавилоне. Она очень похожа на современную, только мы считаем десятками, сотнями, тысячами и так далее, а жители древнего Вавилона объединяли единицы по 60, по 3600 (60x60=3600), а если надо, по 60x60x60=216000 и так далее. Писали в древнем Вавилоне на мягких глиняных табличках острыми палочками, а потом таблички обжигали, и они становились твердыми и прочными. При раскопках были найдены целые библиотеки и архивы из таких табличек.

Палочкой на глине трудно изображать сложные фигуры, поэтому вавилонская письменность состояла, в основном, из различных комбинаций клинышков (ее так и называют - клинопись). Единицы изображались узкими вертикальными клинышками, а десятки - широкими горизонтальными, все числа до 60 "собирали" из таких клинышков. Когда надо было записать число, большее, чем 60, то открывали следующий разряд --в него писали, сколько раз число 60 помещается в записываемом числе, а то, что оставалось (то есть остаток от деления на 60), записывали, как и раньше, в первый разряд. Между разрядами оставляли пробелы, чтобы цифры из разных разрядов не смешивались.

Следы этой нумерации остались в исчислении времени, измерении градусной меры углов.


 
 
Презентация  "
Системы счисления" [ Скачать с сервера (3,95Mb) ]
Динамические модели для перевода чисел из одной системы счисления в другую. [Скачать с сервера (28 Кб)]
Интерактивный тест можно пройти в режиме online здесь.

Ссылки

Категория: Математический кружок | Добавил: le-savchen (20.08.2009)
Просмотров: 10652 | Рейтинг: 5.0/10
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
© Савченко Е.М. 2009-2016