Паркеты - Математический кружок <!--if(Математическая шкатулка)-->- Математическая шкатулка<!--endif--> - Каталог статей - Савченко Е.М.





Каталог статей
Меню сайта



Категории
Математический кружок [24]
Для любознательных учеников
Замечательные математики [5]

Форма входа


Опросы
На что вы готовы пойти, чтобы получить высокие баллы за ЕГЭ?
Всего ответов: 2249

Статистика
Рейтинг@Mail.ru
Geo Visitors Map
Онлайн всего: 8
Гостей: 7
Пользователей: 1
nadyaalekseeva1995
Сегодня нас посетили
admin, nakiya_valieva

Комментарии: 2052
Форум: 26/285
Гостевая книга: 89

Поиск

Кнопка сайта



Приветствую Вас, Гость · RSS 06.12.2016, 22:51

Главная » Статьи » Математическая шкатулка » Математический кружок

Паркеты
УГОЛОК   ДЛЯ   ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ

"Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнейшую часть известной нам высшей математики."
Герман Вейль.

Ящерицы, изображенные голландским художником М. Эшером, образуют, как говорят математики, «паркет». Каждая ящерица плотно прилегает к своим соседям без малейших зазоров, как плашки паркетного пола.

Познакомимся с понятием «паркет» или «мозаика».
Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Например, круги не могут образовать паркет.

рис
Обычно в качестве фигуры для составления мозаики математики используют простые многоугольники, например, квадраты, треугольники, шестиугольники, восьмиугольники или комбинации этих фигур.

Паркеты из правильных многоугольников.

Красивы паркеты из правильных многоугольников: треугольников, квадратов, пятиугольников, шестиугольников, восьмиугольников...  Выпуклый многоугольник называется правильным , если у него все стороны равны и все углы равны.

Паркетом из правильных многоугольников называют такое покрытие плоскости, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.

Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны. Следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов. Поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/n. 

Преобразуем отношение этих чисел:

Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.

Самый простой, но и самый скучный паркет из квадратов.

Простой паркет из правильных треугольников. 

Паркет из правильных шестиугольников можно встретить в мире природы. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт. При составлении паркетов из правильных многоугольников важно, чтобы сумма углов, сходящихся в одной вершине, была равна 360°.

Используя паркетное покрытие можно изготовить замечательные поделки. Маша сделала подарок для своей младшей сестры. Стул, украшенный паркетом из правильных шестиугольников и рисунками забавных пчелок, порадовал всю семью. Использовался шаблон: правильный шестиугольник, гуашь, лак. Сначала наносим рисунок карандашом, выжигаем контуры рисунка прибором для выжигания, аккуратно закрашиваем красками.

Подарок, изготовленный своими руками, самый дорогой подарок..

Паркеты из разных правильных многоугольников.

А если использовать квадраты и треугольники, то можно получить более красивые рисунки.

Сначала выясним, какое количество различных правильных многоугольников (с одинаковыми длинами сторон) может находиться вокруг каждой точки. Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°).

Можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - два варианта паркета; (3,4,4,6) - четыре варианта; (3,3,3,4,4) - четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках - обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 - правильный треугольник, 4 - квадрат, 6 - правильный шестиугольник, 12 - правильный двенадцатиугольник).

Некоторые варианты паркета показаны на следующих иллюстрациях.

Остальные варианты паркетов, а также доказательство того, что не существует других вариантов укладки паркета из правильных многоугольников (при условии, что любые два многоугольника в паркете имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек), см. в статье П.И.Соверткова и др. "Геометрический паркет на экране компьютера" (статья - в виде картинок на двух страницах, объем каждой страницы порядка 500 кб; источник - журнал "Информатика и образование, №9 за 2002 г.).

Эти паркеты нарисованы в программе Microsoft Office Excel с помощью  инструментов панели рисования. Чтобы получить правильный многоугольник, используем клавишу Shift. Например, чтобы нарисовать квадрат нажимаем и удерживаем  клавишу Shift, берем инструмент "прямоугольник", рисуем квадрат.

Самая замечательная «услуга», которую нам предлагает компьютер – копирование. Создав один фрагмент паркета, можно его скопировать и воспроизвести сколько угодно раз. Еще быстрее собирать паркет не из отдельных плашек, а использовать инструмент панели рисования "группировать". Копировать не отдельные плашки, а целые группы. Поэтому, рисовать паркеты на компьютере легко и быстро. Используя различные заливки можно создать удивительно необычные яркие рисунки.

Рисовать паркеты можно в разных программах: Microsoft Office Excel, Word, PowerPoint. В программе PowerPoint можно еще использовать анимации и сделать замечательный слайд-фильм.

Паркет производит приятное впечатление, если он симметричен. Фигура называется симметричной, если её можно наложить саму на себя. Например, повернув сетку из вершин и сторон, образующих паркет на этом рисунке, на 60° вокруг центра шестиугольника, получим ту же самую сетку из вершин и сторон.

 рис   рис  рис

М.Эшер "Ящерицы"

[Кликните по изображению для увеличения рисунка]

рис

[Вы можете раскрыть
сразу несколько изображений]

рис
рис
рис
рис
рис
рис

[Нажмите и удерживайте
для перемещения]

Игра "Паркет".  Автор Ельцова Настя.

Попробуем разобраться, как Эшер создавал свои паркеты. Начнём с простой фигуры ( I ), из которой можно получить паркет. Если с одной стороны вырезается кусочек, то его надо добавить с другой стороны. Добавляем новые вершины многоугольника. Получили фигуру – новый многоугольник.

Повторяя эту операцию несколько раз, получим последовательно фигуры II, III, IV, V. Шаблон для игры «Паркет» выполнен в программе Microsoft Office Excel, можно использовать программу Word. Из одного трафарета можно получить три разных рисунка: голова женщины, голова собаки, голова воина.

Для составления игры «Паркет» использовали программу Microsoft Excel. Применили инструменты панели рисования: полилиния, кривая, начать изменение узлов. Установили командные кнопки. Выполнили визуальную запись макроса.
В игре надо составить паркет или из одной фигуры или из двух фигур. Это возможно, так как они были выполнены из одного шаблона.
рис   рис   рис
рис



Классный час "Паркет из правильных многоугольников", презентация, игровая программа в Excel. Мероприятие прошло в рамках реализации VCT-проекта "Формирование комфортной визуальной среды в школе". Ресурс опубликован в сообществе «Уроки творчества: искусство и технология в школе», Сеть творческих учителей.  [ Скачать, 990 Kb ]



рис   рис  рис

Рисунки Савченко Е.М.

Категория: Математический кружок | Добавил: le-savchen (11.08.2010)
Просмотров: 16044 | Комментарии: 1 | Рейтинг: 4.3/12
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
© Савченко Е.М. 2009-2016