Морис Эшер - Математический кружок <!--if(Математическая шкатулка)-->- Математическая шкатулка<!--endif--> - Каталог статей - Савченко Е.М.





Каталог статей
Меню сайта



Категории
Математический кружок [24]
Для любознательных учеников
Замечательные математики [5]

Форма входа


Опросы
На что вы готовы пойти, чтобы получить высокие баллы за ЕГЭ?
Всего ответов: 2249

Статистика
Рейтинг@Mail.ru
Geo Visitors Map
Онлайн всего: 9
Гостей: 9
Пользователей: 0

Сегодня нас посетили


Комментарии: 2052
Форум: 26/285
Гостевая книга: 92

Поиск

Кнопка сайта



Приветствую Вас, Гость · RSS 03.12.2016, 09:49

Главная » Статьи » Математическая шкатулка » Математический кружок

Морис Эшер
УГОЛОК   ДЛЯ   ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ

Мориц Корнелиус Эшер родился в городе Лееварден в 1898 году. Он был младшим сыном в семье инженера, где, кроме него, было еще четверо детей. Старшие братья пошли по стопам отца, стали научными работниками и инженерами. А младший оказался не в ладах с математикой. В школе учился неважно (еще одна характерная деталь биографии знаменитого человека!); лучше всего давалось ему рисование. В конце концов Эшер выбрал профессию художника-графика. Его отец, инженер-гидравлик, хотел, чтобы сын получил солидную профессию, и в 1919 году Эшер поступает в Гаарлемское училище архитектуры и декоративного искусства. Кстати оказавшись одним из первых, кто стал делать гравюры на новом для того времени материале — линолеуме. Хоть Эшер и посещал школу архитектуры и декоративных искусств в Гарлеме, он тем не менее не стремился что-либо построить.

В 1922 году, проучившись в училище два года, Эшер переезжает в Италию, где проживет 13 лет. Каждое лето он путешествует по Южной Италии или Испании. Летние впечатления служат материалом для гравюр, над которыми он работает зимой.

К середине тридцатых годов политический климат в Италии стал нестерпимым. В 1935 году девятилетнего сына Эшера обязали носить форму юного фашиста. Это посужило толчком к решению семьи переехать в Швейцарию.

Холодная снежная Швейцария действовала на Эшера угнетающе. Он обратился в морскую компанию, совершавшую грузовые перевозки по Средиземному морю, с просьбой разрешить ему путешествовать на ее судах с оплатой гравюрами, выполненными в пути. Удивительно, но предложение было принято.

Это было последнее большое путешествие Эшера. Эшер провел 2 года в Швейцарии, 5 лет — в Брюсселе.  После этого он больше не нуждался во внешних впечатлениях для творчества.

С 1941 года Эшер постоянно живет в Голландии  в городе Барне. Всемирная известность пришла к нему в 1951 году после публикаций сразу в трех популярных журналах: «The Studio», «Time» и «Life». В 1954 году в Амстердаме состоялась большая выставка Эшера, приуроченная к Международному математическому конгрессу. Математики сразу признали художника «своим»; с этого времени его рисунки – неизменный атрибут физико-математических изданий. Слава мало изменила образ жизни художника, который продолжал упорно работать. Умер он 27 марта 1971 года.

Математики любят Эшера. В его гравюрах и литографиях видят ключи к доказательству теорем или оригинальные контрпримеры, бросающие вызов здравому смыслу. Их воспринимают как прекрасные иллюстрации к научным трактатам по кристаллографии, когнитивной психологии или компьютерной графики.

Однажды известный геометр Г. Кокстер пригласил Эшера на свою лекцию, посвященную математическому содержанию его гравюр и литографий. К взаимному разочарованию, Эшер не понял почти ни слова из того, о чем рассказывал Кокстер.

«Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен».

И это говорит человек, без гравюр которого не обходится с середины прошлого века ни одна «иллюстрированная» книга по математике, физике, топологии, не говоря уж о популярных изданиях! (Кстати, советский научно-популярный журнал «Квант» публиковал Эшера свыше 20 раз, «Знание-сила» - еще больше.)

В его словах, наверное, есть доля преувеличения. Так, например, в августе 1960 года Эшер прочитал лекцию по кристаллографии в Кембридже. Почему кристаллография? Видимо, потому, что из всех работ Эшера лучше всего известные его орнаменты (или мозаика), то есть периодическое заполнение плоскости одинаковыми фигурами.

рис

Кликните по изображению
для увеличения рисунка.
Нажмите и удерживайте
для перемещения.

Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры) - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. (Слайд 3)

Орнаменты Эшера, конечно, отвечают важной математической идее периодичности. Хорошо известен орнамент «Меньше и меньше». Цветной вариант. (Слайд 4) Масштаб уменьшается к центру, который служит неподвижной точкой всего хоровода ящериц. На орнаменте «Круговой предел» ситуация обратная – масштаб уменьшается к периферии рисунка. Наконец, на последней работе Эшера «Змеи» масштаб уменьшается как к центру, так и к граничной окружности. (Слайд 5).  Странное пространство показано в этой работе. Здесь пространство уходит в бесконечность в обе стороны - и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами. Если вы попадете в такое пространство, на что оно будет похоже?

Слайд 6. Паркет «Пегасы». Маша Осиноватикова использовала этот рисунок для оформления полочки.

Работы Эшера, отталкиваясь от абстрактного понимания мировых закономерностей, будят фантазию, заставляют иначе взглянуть на мир, породить новую абстракцию – которая послужит основой нового мира либо более точного понимания нашего. Кто знает, сколько теорий современной физики родилось во время созерцания гипнотических гравюр Эшера? А сколько фанатических миров придумано? Один из буквальных примеров – погоня за королем гоблинов (Дэвид Боуи) в фильме-фэнтези «Талисман» - буквально по гравюре «Относительность».

Эшер, как многие гении и до и после него, утверждал: «Все мои произведения – это игры. Серьезные игры. Если бы вы только знали, какие видения посещают меня в ночной тьме… Иногда моя неспособность сделать их зримыми буквально сводит меня с ума. По сравнению с этими мыслями каждая отдельная гравюра или рисунок – это полная неудача, только мельчайшая частица необъятного целого».

"Я часто ощущаю большую близость к математикам, чем к коллегам-художникам”, — писал сам Эшер.

Его литографии, гравюры на дереве, меццо-тинто можно увидеть в кабинетах математиков и других ученых во всех уголках мира. Некоторые из его работ носят жутковатый, сюрреалистический оттенок, но произведения Эшера — это не фантасмагории Сальвадора Дали или Рене Магритта, а тонкие философские и математические наблюдения.

Обширную коллекцию работ Эшера собрал внук президента Теодора Рузвельта инженер Корнелиус Ван Шаак Рузвельт.

Литография "Рептилии" с одной стороны является продолжением математической серии работ Эшера, а с другой стороны появляющийся объем выделяет ее из работ, посвященных симметрии и орнаменту.

Из нижнего угла наброска, заполненного стилизованными рептилиоподобными фигурами, постепенно вылезают становящиеся трехмерными ящерицы. Они ползут через зоологическую книгу, усердно взбираются на додекаэдр по угольнику. На вершине додекаэдра рептилии извергают клубы дыма из ноздрей. А затем они возвращаются обратно, через сосуд в форме ступки, в плоскость наброска, где снова становятся частью бесплотного схематизированного животного орнамента. Действительно, на литографии "Рептилии" маленькое чудовище выползает из шестиугольной мозаики, чтобы начать краткий цикл трехмерного бытия. Достигнув высшей точки, - взобравшись на додекаэдр, рептилия вновь возвращается в безжизненную плоскость. Глубокий философский оттенок этого замкнутого круга событий невольно обращает ум к поэзии древнего Востока:

"Удивленья достойны поступки творца!
Переполнены горечью наши сердца,
Мы уходим из этого мира, не зная
Ни начала, ни смысла его, ни конца. 
рис
рис


Для оформления полочки для мелочей Петрова Маша и Ельцова Настя использовали паркет «Ящерицы»

Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Литография "Рисующие руки" использует эту идею. Самовоспроизведение является направленным действием.

Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы. Лист бумаги прикреплен к доске кнопками. Правая рука делает на листе набросок манжеты с запонкой. Работа еще не закончена, но справа уже детально прорисована левая рука: она высовывается из рукава так реалистично, словно вырастает из плоской поверхности, и, в свою очередь, делает набросок другой манжеты, из которой, подобно живому существу, выползает правая рука.

Спираль. 1955. Торцовая гравюра (четыре доски). 34,5x23,5 см. В пространстве парит женский образ, напоминающий о спиралях срезаемой фруктовой кожуры или полой, раз­битой на куски скульптуры. Ощущение глубины подчерк­нуто грядой облаков, уменьшающихся и рассасывающих­ся по мере приближения к горизонту.

Бесконечное единение. 1956. Литография 26x34 см. Две соединенные спирали создают женскую голову сле­ва и мужскую — справа. Лбы их перевиваются, подобно бесконечной ленте, создавая двойное единство. Ощуще­ние пространства усилено благодаря сферам, проплыва­ющим между, внутри и позади этих полых изображений.

рис


Эшер был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера.

Работами совсем иной категории являются игры с законами перспективы, создание "невозможных” конфигураций. Примерами их могут служить литографии Эшера.

Обратите внимание на схематическое изображение куба на литографии "Бельведер” (на листе бумаги, лежащем на выложенном квадратными плитами полу). Точки, в которых скрещиваются ребра куба, отмечены кружками. На остове куба в руках у сидящего мальчика ребра скрещиваются самым невероятным образом, не реализуемым в трехмерном пространстве.  Множество "невозможных” деталей имеется и в самом бельведере. Лестница, по которой поднимается юноша, - внутри или снаружи беседки находится она? Юноша, взобравшийся на самый верх приставной лестницы, висит снаружи бельведера, хотя основание лестницы находится внутри его. Человек в темнице, вероятно, сошел с ума, пытаясь разобраться в противоречиях причудливого мира, в котором он оказался по воле художника.

"И то, и другое, хотя и не лишено смысла, одинаково бесцельно, — комментирует Эшер. — Два мыслящих индивидуума (один — на балконе, другой — на лестнице) отказываются принимать участие в "упражнении духа”.  Им кажется, будто они постигли истину глубже, чем их собратья, но рано или поздно они поймут ошибочность своего неконформизма”.

Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная работа - литография "Водопад" - основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии. Вода все время течет вниз – и бесконечно движется по кругу. (Примечание. Обратите внимание на многогранники, установленные на башнях водопада.)

Падающая вода приводит в движение мельничное колесо и течет по наклонному зигзагообразному желобу между двумя башнями, возвращаясь к точке, где водопад начинается снова. Мельнику достаточно время от времени плеснуть туда ведерко воды, чтобы компенсировать испарение. Кажется, что обе башни одинаковой высоты; тем не менее, та, что справа, оказывается этажом ниже, чем башня слева.

рис
рис

В литографии "Восхождение и спуск” использована одна из удивительных ("невозможных”) фигур, впервые обнаруженных английским генетиком Л.С.Пенроузом и его сыном математиком Р.Пенроузом [3]. Монахи неизвестного ордена совершают ежедневный ритуал — нескончаемую прогулку по круговой галерее на крыше своего монастыря. При этом те, кто идет по "невозможной” лестнице во внешнем ряду, все время взбираются вверх, а те, кто шествует во внутреннем ряду, столь же неуклонно спускаются вниз. Как же монахи идут по замкнутой лестнице: одни все время вверх, другие – вниз?! (кстати, бессмысленную работу голландцы называют «монашеский труд» - по аналогии с «сизифовым»)

В газете «Аргументы и факты» (октябрь 2005) титульный лист украшает коллаж. Наши министры шествуют по замкнутой лестнице, как монахи на литографии "Восхождение и спуск”.

Лист Мёбиуса. Кроме особенностей евклидовой и неевклидовой геометрий Эшера интересовали визуальные аспекты топологии. Топология изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например,  растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация - это к разрыву. Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем. Как вы думаете, что случится, если разрезать лист Мебиуса вдоль?

В 21 веке популярность художника невероятно возросла. В сети Интернет множество сайтов посвящено его работам, многие художники создают свои «невозможные объекты», другие копируют работы Эшера, например, в ЛЕГО. На популярном сайте «Невозможные объекты» мы можем увидеть и анимационные ролики. Даже дети рисуют невозможных животных, составляют загадочные фигуры из карандашей. Последний «писк» моды футболки с рисунками орнаментов Эшера.

Со временем выяснилось, что некоторые "невозможные" объекты вполне могут существовать на самом деле. Например, лента Мёбиуса, не имеющая вроде бы ни внешней, ни внутренней стороны. Каждый может взять длинную полоску бумаги и склеить ее концы, перекрутив их так, чтобы изнанка оказалась соединенной с лицевой частью. Если теперь приставить к поверхности карандаш и из-под него вытаскивать полоску, проводя линию, то через некоторое время его кончик окажется в исходной точке, а непрерывная линия окажется на обеих сторонах бумажной ленты.

Наши современные дизайнеры В.Ф.Колейчук, Бруно Эрнст, Элбер Гершон, Матье Хемакерз, сумели изготовить "невозможный" треугольник Эшера. А математики утверждают, что и дворцы, в которых можно спуститься вниз по лестнице, ведущей вверх, тоже могут существовать. Для этого нужно лишь построить такое сооружение не в трехмерном, а, скажем, в четырехмерном пространстве. А уж в виртуальном мире, который открывает нам современная компьютерная техника, и не такое можно натворить...

Вот так в наши дни осуществляются задумки человека, который еще на заре века поверил в существование невозможных миров.

[Вы можете раскрыть сразу несколько изображений]
рис
рис


Октябрь 2005г.
«Аргументы и факты»  
Титульный лист популярного еженедельника
украшает коллаж.

Ссылки

Виртуальная экскурсия по сети Интернет "Морис Эшер". Презентация. Мероприятие прошло в рамках реализации VCT-проекта "Формирование комфортной визуальной среды в школе". Ресурс опубликован в сообществе «Уроки творчества: искусство и технология в школе», Сеть творческих учителей. [ Скачать, 2,0 Mb ]

http://www.worldofescher.com/
http://www.mcescher.com/
http://www.escher.ru/
http://absolutgraphic.narod.ru/esher/
http://www.portalus.ru/modules/culture/special/imp/imp-world-r.narod.ru/about.html



Категория: Математический кружок | Добавил: le-savchen (12.08.2010)
Просмотров: 7826 | Рейтинг: 4.8/5
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
© Савченко Е.М. 2009-2016