Паркеты Эшера - Математический кружок <!--if(Математическая шкатулка)-->- Математическая шкатулка<!--endif--> - Каталог статей - Савченко Е.М.





Каталог статей
Меню сайта



Категории
Математический кружок [24]
Для любознательных учеников
Замечательные математики [5]

Форма входа


Опросы
Чем, на ваш взгляд, обусловлены "двойки" на ЕГЭ?
Всего ответов: 2886

Статистика
Рейтинг@Mail.ru
Geo Visitors Map
Онлайн всего: 12
Гостей: 12
Пользователей: 0

Сегодня нас посетили


Комментарии: 2052
Форум: 26/285
Гостевая книга: 92

Поиск

Кнопка сайта



Приветствую Вас, Гость · RSS 11.12.2016, 10:57

Главная » Статьи » Математическая шкатулка » Математический кружок

Паркеты Эшера
УГОЛОК   ДЛЯ   ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ
  • Кликните по изображению для увеличения рисунка.
  • Нажмите и удерживайте для перемещения.
  • Вы можете раскрыть сразу несколько изображений.

Из всех работ Эшера лучше всего известны его орнаменты (или мозаики), то есть периодическое заполнение плоскости одинаковыми фигурами без их пересечений и щелей между ними. Разбивая плоскость на хитроумные комбинации контуров птиц, рыб, пресмыкающихся, млекопитающих и человеческих фигур, Эшер умело включает свои орнаменты в необычайные, подчас озадачивающие неожиданными решениями композиции.

Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании, он старательно изучал и зарисовывал орнаменты в Альгамбре, выполненные в период мавританского владычества. Впоследствии он сказал, что это было для него "богатейшим источником вдохновения". Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал:

"В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней".

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости  подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник. Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.

Среди кристаллографов наибольшей известностью пользуются хитроумные орнаменты Эшера, заполняющие всю плоскость.

Орнаменты на стенах Альгамбры свидетельствуют о том, сколь искусны были испанские мавры в изобретении узоров, состоящих из периодических повторений конгруэнтных фигур. Но мусульманская религия запрещала мавританским мастерам использовать в орнаментах изображения живых существ: человека, животных, рыб и птиц, потому мусульманские орнаменты составлены из абстрактных геометрических фигур. Эшера очень занимала задача составления орнаментов, использующих в качестве повторяющихся элементов реальные изображения.

Эшер лишь немного не дожил до утверждения теории псевдокристаллов и «непериодических» кристаллов – можно только догадываться, на какие работы подвигли бы его эти теории…

"Иногда, когда я рисую, мне кажется, будто я медиум, находящийся во власти существ, порожденных моим же воображением, — сказал как-то раз Эшер — Они словно сами избирают, в каком виде им появиться... Линия, разделяющая две смежные фигуры, выполняет двоякую функцию, и провести такую линию чрезвычайно сложно. По обе стороны от нее обретает зримую форму то, что ранее существовало лишь в воображении. Но ни человеческий глаз, ни человеческий разум не могут одновременно созерцать две вещи, поэтому происходит быстрое и непрерывное переключение внимания с того, что находится по одну сторону линии, на то, что находится по другую сторону от нее. Но, вероятно, именно в этой трудности и кроется движущая пружина моего упорства”.

О том, сколь многими способами фантастические орнаменты Эшера иллюстрируют различные аспекты симметрии, теории групп и кристаллографических законов, можно было бы написать целую книгу. Такая книга действительно была написана Каролиной Макгиллэври из Амстердамского университета. Называлась она "Симметрийные аспекты периодических рисунков M. К. Эшера” и была издана Международным союзом кристаллографов. В ней собраны репродукции 41 орнамента Эшера (многие из них—цветные).

"Среди окружающего нас нередко хаотического мира, — писал Эшер, — они служат непревзойденным по своей выразительности символом извечного стремления человека к гармонии и порядку. В то же время их совершенство вызывает у нас ощущение собственной беспомощности. Правильные многогранники совершенно лишены человеческого элемента. Их нельзя считать изобретениями человеческого разума, ибо они существовали в земной коре в виде кристаллов задолго до того, как на сцене появилось человечество. Что же касается сферических форм, то разве сама Вселенная не состоит из сфер?”

В XXI веке популярность художника необычно возросла. Его литографии, гравюры на дереве можно увидеть в кабинетах математиков и других ученых во всех уголках мира.  С середины прошлого века без его гравюр не обходится ни одна «иллюстрированная» книга по математике, физике, топологии, не говоря уж о популярных изданиях! (Кстати, советский научно-популярный журнал «Квант» публиковал Эшера свыше 20 раз, «Знание-сила» - еще больше.) Например, учебники «Математика 10», «Математика 11» автор Мордкович А. Г.  В оформлении учебников использованы литографии Эшера.  Его имя можно встретить и в книгах по информатике. На сайтах в сети Internet мы увидели чашки, галстуки, часы и красивые ткани, украшенные паркетами Эшера. Последний «писк» моды футболки с рисунками орнаментов Эшера. Фигурные элементы мощения – брусчатые камни.

Если вам покажется, будто создание таких орнаментов — дело нетрудное, мы рекомендуем попробовать свои силы и придумать хотя бы одну композицию!

Попробуем разобраться, как Эшер создавал свои паркеты. Например, в основе паркета «Ящерицы» - правильный шестиугольник. Если внутри вырезается некоторый "кусочек" плоскости, то такой же надо добавить снаружи. Линия, разделяющая две смежные фигуры, выполняет двоякую функцию, и провести такую линию чрезвычайно сложно. Человеческий глаз и человеческий разум не могут одновременно созерцать две вещи, поэтому происходит быстрое и непрерывное переключение внимания с того, что находится по одну сторону линии, на то, что находится по другую сторону от нее.

Мы выбрали орнаменты Эшера для украшения рекреации математики: "Ящерицы", "Бабочки", "Рыба, заглатывающая корабль", "Пегасы", "Лебеди".

С помощью компьютера мы увеличили паркеты Эшера. Затем вырезали шаблон из картона, нанесли рисунок на фанеру.

Очень трудоемкая работа – выжигание контура рисунка, подбор сочетания цветов гуаши для картины. Последний шаг – картина покрывается бесцветным лаком. Еще мы использовали гель с блёстками. Например, в композиции с бабочками мы выделили синими блестками синих бабочек, на картине с лебедями выделили блеском синих лебедей. На картине «Рыба, заглатывающая корабль» желтые кораблики переливаются желтыми блестками. Этот приём придал картинам загадочность. Интересно рассматривать картины с разных ракурсов.

Рамки для картин помогли сделать родители. Для покраски рам использовали средство «Биотекс» и золотую эмаль.

Разглядывая паркеты, мы можем увидеть различные виды движения: параллельный перенос, поворот, осевую и центральную симметрии.

Рекреацию математики украшают картины. Учителя математики остались довольны. Визуальная среда на нашем этаже обогатилась зрительными элементами. Подоконники украшают большие цветы в ярких кашпо. На стенах загадочные картины и цветы. Видеоэкологи, наверное, отметили бы, что теперь глазу есть за что «зацепиться».

Этапы выполнения работы:

  • работа с компьютером (поиск рисунка в Internet, увеличение рисунка, печать),
  • изготовление шаблона из картона;
  • нанесение рисунка на фанеру (работа с карандашом);
  • работа с прибором для выжигания, выжигание контуров рисунка;
  • подбор красок гуаши, разукрашивание рисунка;
  • покрытие лаком, изготовление рамки  для картины.          

По этой технологии изготовили 5 картин для украшения рекреации гимназии. 


рис
рис
рис
рис
рис
рис

Эшер "Пегасы"
рис

Эшер "Лебеди"
рис



Ссылки

Виртуальная экскурсия по сети Интернет "Паркеты Эшера". Презентация. Мероприятие прошло в рамках реализации VCT-проекта "Формирование комфортной визуальной среды в школе". Ресурс опубликован в сообществе «Уроки творчества: искусство и технология в школе», Сеть творческих учителей. [ Скачать, 2,35 Mb ]

http://www.worldofescher.com/
http://www.mcescher.com/
http://www.escher.ru/
http://absolutgraphic.narod.ru/esher/





Категория: Математический кружок | Добавил: le-savchen (13.08.2010)
Просмотров: 11644 | Рейтинг: 5.0/7
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
© Савченко Е.М. 2009-2016