Математические чудеса - Математический кружок <!--if(Математическая шкатулка)-->- Математическая шкатулка<!--endif--> - Каталог статей - Савченко Е.М.





Каталог статей
Меню сайта



Категории
Математический кружок [24]
Для любознательных учеников
Замечательные математики [5]

Форма входа


Опросы
В какой социальной сети у вас есть аккаунт (учтная запись)?
Всего ответов: 2225

Статистика
Рейтинг@Mail.ru
Geo Visitors Map
Онлайн всего: 7
Гостей: 7
Пользователей: 0

Сегодня нас посетили
st100

Комментарии: 2052
Форум: 26/285
Гостевая книга: 90

Поиск

Кнопка сайта



Приветствую Вас, Гость · RSS 07.12.2016, 13:32

Главная » Статьи » Математическая шкатулка » Математический кружок

Математические чудеса
УГОЛОК   ДЛЯ   ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ

Исчезновение фигур. Проследим за ходом развития многих замечательных геометрических парадоксов. Все они начинаются с разрезания фигуры на куски и заканчиваются составлением из них кусков новой фигуры. При этом создается впечатление, что часть первоначальной фигуры (это может быть часть площади фигуры или один из нескольких изображенных на ней рисунков) бесследно исчезла. Когда же куски возвращаются на свои первоначальные места, исчезнувшая часть площади или рисунок таинственным образом возникают вновь. Геометрический характер этих любопытных исчезно­вений и появлений оправдывает причисление этих парадоксов  к разряду математических  головоломок.

Парадокс с линиями
 
Все многочисленные парадоксы, которые мы здесь собираемся рассматривать, основаны на одном и том же принципе, который мы назовем «принципом скрытого перераспределения». Вот один очень старый и совсем элементарный парадокс, который сразу объяс­няет суть этого принципа.

Начертим на прямоугольном листе бумаги десять маргинальных линий одинаковой длины и проведем пунктиром диагональ, как показано на рисунке. Посмотрим на отрезки этих линий над диагональю и под ней; нетрудно заметить, что длина первых уменьшается, а вторых соответственно увеличивается. Разрежем прямоугольник по пунктирной линии и сдвинем нижнюю часть влево вниз, как это показано рисунке. Сосчитав число вертикальных линий, вы обнаружите, что теперь их стало девять. Какая линия исчезла и куда? Передвиньте левую часть в прежнее положение, и исчезнувшая линия появится снова. Но какая линия стала на свое место и откуда она взялась?

Сначала эти вопросы кажутся загадочными, но после небольшого размышления становится ясным, что никакая отдельная линия при этом не исчезает и не появляется. Происходит же следующее: восемь из десяти вертикальных линий разрезаются пунктир­ной линией на два отрезка, и полученные шестна­дцать отрезков «перераспределяются», образуя (вме­сте с двумя незатронутыми вертикальными линиями) девять линий, каждая из которых чуточку длиннее первоначальных. Так как приращение длины каждой линии весьма невелико, оно не сразу обнаружи­вается. В действительности же суммарная величина этих приращений в точности равна длине каждой из первоначальных линий.


Исчезновение лица           
(Рисунок)


Перейдем к описанию способов, при помощи кото­рых парадокс с линиями можно сделать более инте­ресным и  занимательным. Этого можно, например, достигнуть, заменив исчезновение и появление линий таким же исчезновением и появлением плоских фигур. Здесь особенно подойдут изображения каран­дашей, папирос, кирпичей, шляп с высокой тульей, стаканов с водой и других вертикально протяженных предметов, характер изображения которых до и после сдвига остается одинаковым. При некоторой художественной изобретательности можно брать и более сложные предметы. Посмотрите, например, на исчезающee лицо на рисунке.

При сдвиге верхней полосы в право все шляпы остаются незатронутыми, однако одно лицо полностью исчезает! Бессмысленно спрашивать, какое именно лицо, так как при сдвиге четыре лица разде­ляются на две части. Эти части затем перераспреде­ляются, причем каждое лицо получает несколько добавочных черт: одно, например, более длинный нос, другое — более вытянутый подбородок и т. д. Однако эти маленькие перераспределения остроумно скрыты, а исчезновение всего лица, конечно, поражает гораздо сильнее, чем исчезновение кусочка линии.

При сдвиге нижней части, один стакан исчезает.
 


Для увеличения рисунков кликните по изображению.
Нажмите и удерживайте для перемещения.
Вы можете открыть сразу два изображения

рис

рис
рис

«Исчезающий воин»              (Рисунок)

В этой головоломке парадоксу с линиями придана круговая форма и прямолинейные отрезки заменены фигурами 13 воинов. Большая стрела ука­зывает при этом на северо-восток С. В. Если же рису­нок  разрезать по окружности, а затем внутреннюю часть начать поворачивать против часовой стрелки, то фигуры сначала разделятся на части, затем соеди­нится вновь, но уже по-иному, и когда большая прела укажет на северо-запад С.З, на рисунке будет 12 воинов. При вращении круга в обратном направлении до положения, когда большая стрела встанет опять на С. В, исчезнувший воин появится снова.

Если рассмотреть повнимательнее, то можно заметить, что два воина на рисунке расположены по-особенному: они находятся друг против друга, тогда как все остальные размещены цепочкой. Эти две фигуры соответствуют крайним линиям в парадоксе с отрезками. Исходя из требовании рисунка, у каждой из этих фигур должна отсутствовать часть ноги, и чтобы в повернутом положении колеса этот недостаток был менее заметен, лучше было изо­бразить их рядом.

Вращая колесо далее, можно получить четырна­дцать, пятнадцать и т. д. воинов, однако с увеличе­нием их числа становит­ся все более явственным, что каждая из фигур сильно тощает, давая ма­териал для других фигур. Отметим еще, что воины изображены на рисунке с гораздо большей изоб­ретательностью, чем это может показаться с пер­вого взгляда. Так, напри­мер, чтобы фигуры оста­вались в вертикальном положении во всех местах, нужно в одном случае иметь вместо ле­вой ноги правую, а в другом, наоборот, вместо пра­вой ноги левую.

Чтобы нарисовать этих воинов я потратила очень много времени. Не меньше усилий потребовалось и на кроликов.

рис
рис
Пропавший кролик                 (Рисунок)

Парадокс вертикаль­ных - линий можно, оче­видно, показывать и на более сложных объектах, например человеческих лицах, фигурах животных и т. д. На рисунке пока­зан вариант с кроликами. На первом рисунке 11 кроликов, а на втором уже 10. Когда после разрезания по тол­стой линии меняют местами прямоугольники А и В, один кролик исчезает, оставляя вместо себя пасхаль­ное яйцо (хвост). Если вместо перестановки прямоугольников А а В разрезать правую половину рисунка по пунк­тирной линии и поменять местами правые части, число кроликов увеличится до 12, однако при этом один кролик теряет уши и появляются другие смеш­ные детали.

Эти фокусы с исчезновением фигур я нарисовала для
мероприятия "Час математического фокуса". Листы прикрепляются к доске с помощью магнитов.

 

Источник.
М. Гарднер "Математические чудеса и тайны".  Издательство "Наука". Москва, 1977.
рис  рис
Рисунки Савченко Е.М.



Категория: Математический кружок | Добавил: le-savchen (27.08.2010)
Просмотров: 8067 | Рейтинг: 2.0/2
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
© Савченко Е.М. 2009-2016